フーリエ変換は、式 F（u）＝∫ f（x）e⁻ⁱ²ᵘˣdx で表される。この式の核関数であるe⁻ⁱ²ᵘˣはEuler〈オ…
午前 第48問
フーリエ変換は、式 F（u）＝∫ f（x）e⁻ⁱ²ᵘˣdx で表される。この式の核関数であるe⁻ⁱ²ᵘˣはEuler〈オイラー〉の公式を用いるとどのように書けるか。ただし、u：空間周波数、x：位置、f（x）：空間関数、F（u）：f（x）のフーリエ変換、i：虚数単位とする。
- (1)cos（2πux）＋sin（2πux）
- (2)cos（2πux）－sin（2πux）
- (3)cos（2πux）＋isin（2πux）
- (4)cos（2πux）－isin（2πux）
- (5)cos（－2πux）－isin（－2πux）
正答 (4)
正答は (4)。e^(－i2πux) ＝ cos（2πux）－ isin（2πux）です。
【考え方】
オイラーの公式は e^(iθ) ＝ cosθ ＋ isinθ です。
θ ＝ －2πux を入れると
e^(－i2πux) ＝ cos（－2πux）＋ isin（－2πux）
cos は偶関数（cos（－θ）＝ cosθ）、sin は奇関数
（sin（－θ）＝ －sinθ）なので
＝ cos（2πux）－ isin（2πux）
【ほかの選択肢】
(1)、(2)：虚数単位 i が付いていない。オイラーの公式では sin の項に i が付く。誤り
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(3) cos（2πux）＋ isin（2πux）：これは e^(＋i2πux)（逆フーリエ変換の核）。誤り
(5) cos（－2πux）－ isin（－2πux）＝ cos（2πux）＋ isin（2πux）となり、(3)と同じ。誤り
※紙面の式は、積分の範囲が －∞ から ∞ まで、核関数がe^(－i2πux)（指数に π を含む）です。
出典：2024年（令和6年） 診療放射線技師国家試験 問48（厚生労働省 公表）出典元ページ
最終更新日
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